Su infancia se desarrolló normalmente entre sus padres y familia que siempre lo alentaron para jugar al fútbol, pues para su edad era un muchacho muy alto (hoy en día mide 1.87 metros).
Entrenó desde pequeño y siguió haciéndolo aún cuando se mudó a la Capital Federal del país por motivos laborales de su padre.
En
1999, todavía formando parte de las divisiones inferiores de fútbol, ganó la el
Torneo Sudamericano Sub 20 junto a la
Selección Argentina.
En el
2000 debutó en
River Plate como arquero titular luego de haber hecho carrera en las divisiones inferiores del mismo equipo.
En total, con la casaca roja y blanca, jugó 82 partidos y consiguió 3 títulos. Tuvo como compañeros a
Saviola,
Aimar, Angel,
Ortega, D’alessandro, Cavenaghi y otros que, como él, partieron al exterior.
En el
2005 debutó en Europa con el
Deportivo Alavés de España, en una actuación que lo dejó bien parado, marcando superioridad en el arco.
Ya en el
2006 Costanzo fue transferido al
FC Basel de Suiza, donde reside actualmente y sigue desempeñándose como portero.
Títulos obtenidos:Torneo Clausura 2002 (River Plate)
Torneo Clausura 2003 (River Plate)
Torneo Clausura 2004 (River Plate)